教学反思：平面镶嵌问题

一、教学设计与实际效果

对于这部分教学内容，教参和教材建议如下：

根据上述要求，将本节活动课内容设计如下：

1、导入

准备一组生活中的平面镶嵌图案，包含单一正多边形镶嵌、单一任意多边形镶嵌、多种多边形组合镶嵌等，使学生认识身边的这些图案，作好用所学图形进行平面镶嵌的准备。

以上六幅图中，图1是正方形镶嵌，图2是等边三角形镶嵌，图3是等腰直角三角形镶嵌，图4是正六边形镶嵌，图5是五边形和六边形组合镶嵌，图6和图7是三角形四边形组合镶嵌，基本涵盖了本节课可能需要的图例。

通过观察这些图案，引出平面图形镶嵌的基本要求“严丝合缝，不留空隙”，为后面的实操打好基础。

2、实操

事先在A4纸上打印好四种基本图形，正三角形、正方形、正五边形、正六边形，每个学生一张，小组内便可凑6-7个相同的基本图形进行平面镶嵌。全班共分五个小组，由组长统筹进行活动任务分配，并以小组为单位进行课堂活动评价。

活动一：用一种正多边形进行平面镶嵌

从前面阅读要求中“严丝合缝，不留空隙”这句自然语言描述，进化至数学语言：①对应边重合或共线；②每个顶点周围的角，和为360°。

按以上要求，分别利用手中剪下的正三角形、正方形、正五边形、正六边形进行平面镶嵌实验，发现除正五边形外，其余均可进行。

部分学生镶嵌结果如下图：

以上是对正三角形进行镶嵌的结果，值得一提的是左上图的结果，在后续评课过程中，刘老师发现了我在备课过程中忽略掉的一点，留待后文细讲，其余四幅图，学生均将正三角形拼成了一个更大的正六边形。

我借助学生所拼结果，想引导学生自己找到“严丝合缝，不留空隙”的数学描述，结果失败，后来不得不自己说出了结果，当然，这一设计本身也值得商榷。

接着是对正方形的镶嵌，过程较为简单，然后是正五边形，学生镶嵌结果如下图：

学生得出的结论是正五边形不能进行平面镶嵌，这很正常，有三幅图都能看出，在正五边形之间出现了空隙，然而有一组学生的拼图，如左下图，将所有正五边形拼成了一个环状，于是就有学生感觉这可以进行镶嵌，而在指出中间的空洞如何弥补之后，方才意识到，不满足“不留空隙”的要求。更进一步，引导学生找到了“空隙”处的角为36°，而正五边形是无论如何也填补不了它。

最后是正六边形，完成较为顺利，如下图：

很显然，这和刚上课时给出的图案很像，而蜂巢，则是最典型的实际图例，发现每个顶点处有三个角，每个角是120°，于是能凑成360°。

活动二：用两种正多边形进行平面镶嵌

在使用单独一种正多边形进行镶嵌之后，接下来用两种组合来进行，经过摸索，学生找到了两种，即3个正三角形和2个正方形，4个正三角形和1个正六边形，其实还有一种，2个正三角形和2个正六边形。

利用手中的图形，小组内进行了尝试，成功得出了这些镶嵌方法。

其实这个组的同学还可以换种拼法，两个正方形未必要紧挨在一起，但多数小组都是这种模式，难道是思维惯势？

活动三：用任意三角形进行平面镶嵌

活动四：用任意四边形进行平面镶嵌

在这两个活动中，利用了希沃白板5进行演示，绘制任意三角形和四边形时，请学生注意拼接过程中，对应边如何重合，顶点处的角度和是否为360°，以及为什么顶点处角度和为360°，与前面“严丝合缝，不留空隙”互相照应。

3、小结

根据以上活动，认识到平面图形能否镶嵌的判断依据，学会用数学语言对镶嵌过程进行描述，综合利用三角形内角和、多边形内角和等知识。

二、评课与反思

1、在引入环节中，为了引导学生得到平面镶嵌的数学描述，举了一个反例，正方形顶点不重合时，不能镶嵌，此处有误，事实上顶点不重合，同样可以进行镶嵌，如下图：

而在学生用正三角形进行镶嵌时，其实也可以将第一组进行扩充，如下图：

上述两个图例中，顶点与顶点并没有都重合，顶点也可以在边上，依然满足顶点周围角的和为360°，只是其中有一个平角而已。

2、在正五边形与正六边形组合不能进行平面镶嵌的时候，要注意一个错例，足球表面的图案，看上去似乎是正五边形和正六边形刚好“镶嵌”了，但那不是平面，而是球面。

3、时间分配上，前面引导用时较长，尝试让学生自己归纳出平面镶嵌所需满足的条件，是有一定困难的，鉴于学生实情，倒不如直接给出这两个条件，然后按条件进行实操，加以巩固。但在本节课中，采用让学生去发现规律，是基于生本课堂理念，本意应该没有错，只是学生本身能力限制，未能达到课堂预期效果，在其它班级或可一试。

4、任意多边形组合是否可以进行镶嵌？因为在引导图例中，存在五边形和六边形组合镶嵌，但那并不是任意五边形和六边形，而是满足一定条件的多边形，那究竟是什么条件呢？

无论是顶点重合或顶点在边上，周围的角之和为360°必须满足，如果顶点重合，则多边形拼到顶点处的角，和为360°，如果顶点在边上，则多边形拼到顶点处的角，和为180°，但这种镶嵌已经超出了学生的理解范畴，同时本节课时间也不允许进行这类拓展。

三、结语

一节课，仅仅是闭门造车，效果往往差强人意，这就是为什么要进行集体备课的原因，参与集体备课的老师，从各自不同的角度去看同一个教学问题，往往能看得比较通透。

评课过程中，发挥各自教学经验的优势，“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”。从授课过程中自己发现问题，到评课时刘老师和杨老师发现问题，最后自己再回顾思考，进行研讨，对听、评双方都是一种加经验值的快捷方式。