100次浏览 发布时间:2024-09-14 09:04:23
角是几何图形中最重要的元素,证明两直线位置关系、运用全等三角形、相似三角形都要涉及角,而圆的特征,赋予角极强的活性,使得角能灵活地互相转化.
与圆有关的角:
1、圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、圆周角:顶点在圆上,两条边都和圆相交的角叫做圆周角.
圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
※3、弦切角:顶点在圆上,一条边和圆相交,另一条边和圆相切的角叫做弦切角.
弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
根据圆心角与圆周角的倍半关系,可实现圆心角与圆周角的转化;由同弧或等弧所对的圆周角相等,可将圆周角在大小不变的情况下,改变顶点在圆上的位置进行探索;由圆内接四边形的对角互补和外角等于内对角,可将与圆有关的角互相联系起来.
熟悉以下基本图形
注:(1)弧是联系与圆有关的角的中介,“由弧到角,由角看弧”是促使与圆有关的角相互转化的基本方法.
(2)构造直径上90°的圆周角,是解与圆相关问题的常用辅助线,这样就为勾股定理的运用、相似三角形的判定创造了条件.
【问题解决】
直线AB与⊙O相交于A,B两点,点C在⊙O上,且∠BOC=40°,点E是直线AB上一个动点(与点O不重合),直线EC交⊙O于另一点D,则使DE=DO的点总共有 个.
【思路分析】
作出图形,分类讨论.根据画图可知应分E在BA的延长线上、在线段AB上、在AB的延长线上三种情况来解决.
【图文解析】(观察动态演示)
当点E在BA的延长线上,如图:
设∠CEO=x°,
∵DE=DO,
∴∠DOE=∠CEO=x°,
∵OC=OD,
∴∠OCD=∠ODC=2x°,
∵∠BOC=∠OCD+∠CEO,
∴2x+x=40,
当点E在线段AB上,如图:
设∠CDO=x°,
∵OC=OD,
∴∠OCD=∠ODC=x°,
∵DE=DO,
∴∠DOE=∠DEO=(40+x)°,
由三角形内角和定理得:x+40+x+40+x=180,
当点E在AB的延长线上,如图:
设∠CEO=x°,
∵DE=DO,
∴∠DOE=∠CEO=x°,∠COD=(x-40)°
∵OC=OD,
∴∠ODC=∠OCD=(40+x)°,
由三角形内角和定理得:x-40+2(40+x)=180,
故答案为3.
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理,根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到三种情况.正确画出图形,灵活转化圆中角是解决本题的关键。
探究乐园:
1、如图,圆内接四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=90°,AD=3,CD=2,则BC= .
2、如图,ABCD是⊙O的内接四边形,延长BC到E,已知∠BCD:∠ECD=3:2,那么∠BOD= °.
3、如图,已知四边形ABCD外接⊙O的的半径为5,对角线AC与BD的交点为E,且AB²=AE×AC,BD=8,求△ABD的面积.
4、如图,已知AD是△ABC外角∠EAC的平分线,交BC的延长线于点D,延长DA交△ABC的外接圆于点F,连结FB、FC.
(1)求证:FB=FC;
(2)求证:FB²=FA×FD;
(3)若AB是△ABC的外接圆的直径,∠EAC=120°,BC=6cm,求AD的长.
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